3.362 \(\int \frac{(a+b x)^n (c+d x^2)^3}{x} \, dx\)

Optimal. Leaf size=246 \[ -\frac{a d \left (3 a^2 b^2 c d+a^4 d^2+3 b^4 c^2\right ) (a+b x)^{n+1}}{b^6 (n+1)}+\frac{d \left (9 a^2 b^2 c d+5 a^4 d^2+3 b^4 c^2\right ) (a+b x)^{n+2}}{b^6 (n+2)}-\frac{a d^2 \left (10 a^2 d+9 b^2 c\right ) (a+b x)^{n+3}}{b^6 (n+3)}+\frac{d^2 \left (10 a^2 d+3 b^2 c\right ) (a+b x)^{n+4}}{b^6 (n+4)}-\frac{5 a d^3 (a+b x)^{n+5}}{b^6 (n+5)}+\frac{d^3 (a+b x)^{n+6}}{b^6 (n+6)}-\frac{c^3 (a+b x)^{n+1} \, _2F_1\left (1,n+1;n+2;\frac{b x}{a}+1\right )}{a (n+1)} \]

[Out]

-((a*d*(3*b^4*c^2 + 3*a^2*b^2*c*d + a^4*d^2)*(a + b*x)^(1 + n))/(b^6*(1 + n))) + (d*(3*b^4*c^2 + 9*a^2*b^2*c*d
+ 5*a^4*d^2)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^6*(2 + n)) - (a*d^2*(9*b^2*c + 10*a^2*d)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^6*(3 + n))
+ (d^2*(3*b^2*c + 10*a^2*d)*(a + b*x)^(4 + n))/(b^6*(4 + n)) - (5*a*d^3*(a + b*x)^(5 + n))/(b^6*(5 + n)) + (d^
3*(a + b*x)^(6 + n))/(b^6*(6 + n)) - (c^3*(a + b*x)^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a])/(
a*(1 + n))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.344616, antiderivative size = 246, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 4, number of rules used = 3, integrand size = 20, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.15, Rules used = {952, 1620, 65} \[ -\frac{a d \left (3 a^2 b^2 c d+a^4 d^2+3 b^4 c^2\right ) (a+b x)^{n+1}}{b^6 (n+1)}+\frac{d \left (9 a^2 b^2 c d+5 a^4 d^2+3 b^4 c^2\right ) (a+b x)^{n+2}}{b^6 (n+2)}-\frac{a d^2 \left (10 a^2 d+9 b^2 c\right ) (a+b x)^{n+3}}{b^6 (n+3)}+\frac{d^2 \left (10 a^2 d+3 b^2 c\right ) (a+b x)^{n+4}}{b^6 (n+4)}-\frac{5 a d^3 (a+b x)^{n+5}}{b^6 (n+5)}+\frac{d^3 (a+b x)^{n+6}}{b^6 (n+6)}-\frac{c^3 (a+b x)^{n+1} \, _2F_1\left (1,n+1;n+2;\frac{b x}{a}+1\right )}{a (n+1)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[((a + b*x)^n*(c + d*x^2)^3)/x,x]

[Out]

-((a*d*(3*b^4*c^2 + 3*a^2*b^2*c*d + a^4*d^2)*(a + b*x)^(1 + n))/(b^6*(1 + n))) + (d*(3*b^4*c^2 + 9*a^2*b^2*c*d
+ 5*a^4*d^2)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^6*(2 + n)) - (a*d^2*(9*b^2*c + 10*a^2*d)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^6*(3 + n))
+ (d^2*(3*b^2*c + 10*a^2*d)*(a + b*x)^(4 + n))/(b^6*(4 + n)) - (5*a*d^3*(a + b*x)^(5 + n))/(b^6*(5 + n)) + (d^
3*(a + b*x)^(6 + n))/(b^6*(6 + n)) - (c^3*(a + b*x)^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a])/(
a*(1 + n))

Rule 952

Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))^(n_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(c^p*(d
+ e*x)^(m + 2*p)*(f + g*x)^(n + 1))/(g*e^(2*p)*(m + n + 2*p + 1)), x] + Dist[1/(g*e^(2*p)*(m + n + 2*p + 1)),
Int[(d + e*x)^m*(f + g*x)^n*ExpandToSum[g*(m + n + 2*p + 1)*(e^(2*p)*(a + c*x^2)^p - c^p*(d + e*x)^(2*p)) - c
^p*(e*f - d*g)*(m + 2*p)*(d + e*x)^(2*p - 1), x], x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x] && NeQ[e*f - d*g, 0]
&& NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && IGtQ[p, 0] && NeQ[m + n + 2*p + 1, 0] && (IntegerQ[n] ||  !IntegerQ[m])

Rule 1620

Int[(Px_)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[Px*(a + b*x)
^m*(c + d*x)^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && PolyQ[Px, x] && (IntegersQ[m, n] || IGtQ[m, -2]) &&
GtQ[Expon[Px, x], 2]

Rule 65

Int[((b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^(n + 1)*Hypergeometric2F1[-m, n +
1, n + 2, 1 + (d*x)/c])/(d*(n + 1)*(-(d/(b*c)))^m), x] /; FreeQ[{b, c, d, m, n}, x] &&  !IntegerQ[n] && (Inte
gerQ[m] || GtQ[-(d/(b*c)), 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{(a+b x)^n \left (c+d x^2\right )^3}{x} \, dx &=\frac{d^3 (a+b x)^{6+n}}{b^6 (6+n)}+\frac{\int \frac{(a+b x)^n \left (b^6 c^3 (6+n)-a^5 b d^3 (6+n) x+b^2 d \left (3 b^4 c^2-5 a^4 d^2\right ) (6+n) x^2-10 a^3 b^3 d^3 (6+n) x^3+b^4 d^2 \left (3 b^2 c-10 a^2 d\right ) (6+n) x^4-5 a b^5 d^3 (6+n) x^5\right )}{x} \, dx}{b^6 (6+n)}\\ &=\frac{d^3 (a+b x)^{6+n}}{b^6 (6+n)}+\frac{\int \left (-a b d \left (3 b^4 c^2+3 a^2 b^2 c d+a^4 d^2\right ) (6+n) (a+b x)^n+\frac{\left (6 b^6 c^3+b^6 c^3 n\right ) (a+b x)^n}{x}+b d \left (3 b^4 c^2+9 a^2 b^2 c d+5 a^4 d^2\right ) (6+n) (a+b x)^{1+n}-a b d^2 \left (9 b^2 c+10 a^2 d\right ) (6+n) (a+b x)^{2+n}+b d^2 \left (3 b^2 c+10 a^2 d\right ) (6+n) (a+b x)^{3+n}-5 a b d^3 (6+n) (a+b x)^{4+n}\right ) \, dx}{b^6 (6+n)}\\ &=-\frac{a d \left (3 b^4 c^2+3 a^2 b^2 c d+a^4 d^2\right ) (a+b x)^{1+n}}{b^6 (1+n)}+\frac{d \left (3 b^4 c^2+9 a^2 b^2 c d+5 a^4 d^2\right ) (a+b x)^{2+n}}{b^6 (2+n)}-\frac{a d^2 \left (9 b^2 c+10 a^2 d\right ) (a+b x)^{3+n}}{b^6 (3+n)}+\frac{d^2 \left (3 b^2 c+10 a^2 d\right ) (a+b x)^{4+n}}{b^6 (4+n)}-\frac{5 a d^3 (a+b x)^{5+n}}{b^6 (5+n)}+\frac{d^3 (a+b x)^{6+n}}{b^6 (6+n)}+c^3 \int \frac{(a+b x)^n}{x} \, dx\\ &=-\frac{a d \left (3 b^4 c^2+3 a^2 b^2 c d+a^4 d^2\right ) (a+b x)^{1+n}}{b^6 (1+n)}+\frac{d \left (3 b^4 c^2+9 a^2 b^2 c d+5 a^4 d^2\right ) (a+b x)^{2+n}}{b^6 (2+n)}-\frac{a d^2 \left (9 b^2 c+10 a^2 d\right ) (a+b x)^{3+n}}{b^6 (3+n)}+\frac{d^2 \left (3 b^2 c+10 a^2 d\right ) (a+b x)^{4+n}}{b^6 (4+n)}-\frac{5 a d^3 (a+b x)^{5+n}}{b^6 (5+n)}+\frac{d^3 (a+b x)^{6+n}}{b^6 (6+n)}-\frac{c^3 (a+b x)^{1+n} \, _2F_1\left (1,1+n;2+n;1+\frac{b x}{a}\right )}{a (1+n)}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.21327, size = 226, normalized size = 0.92 \[ (a+b x)^{n+1} \left (\frac{d (a+b x) \left (9 a^2 b^2 c d+5 a^4 d^2+3 b^4 c^2\right )}{b^6 (n+2)}-\frac{a d \left (3 a^2 b^2 c d+a^4 d^2+3 b^4 c^2\right )}{b^6 (n+1)}+\frac{d^2 (a+b x)^3 \left (10 a^2 d+3 b^2 c\right )}{b^6 (n+4)}-\frac{a d^2 (a+b x)^2 \left (10 a^2 d+9 b^2 c\right )}{b^6 (n+3)}+\frac{d^3 (a+b x)^5}{b^6 (n+6)}-\frac{5 a d^3 (a+b x)^4}{b^6 (n+5)}-\frac{c^3 \, _2F_1\left (1,n+1;n+2;\frac{a+b x}{a}\right )}{a n+a}\right ) \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[((a + b*x)^n*(c + d*x^2)^3)/x,x]

[Out]

(a + b*x)^(1 + n)*(-((a*d*(3*b^4*c^2 + 3*a^2*b^2*c*d + a^4*d^2))/(b^6*(1 + n))) + (d*(3*b^4*c^2 + 9*a^2*b^2*c*
d + 5*a^4*d^2)*(a + b*x))/(b^6*(2 + n)) - (a*d^2*(9*b^2*c + 10*a^2*d)*(a + b*x)^2)/(b^6*(3 + n)) + (d^2*(3*b^2
*c + 10*a^2*d)*(a + b*x)^3)/(b^6*(4 + n)) - (5*a*d^3*(a + b*x)^4)/(b^6*(5 + n)) + (d^3*(a + b*x)^5)/(b^6*(6 +
n)) - (c^3*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, (a + b*x)/a])/(a + a*n))

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.526, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\frac{ \left ( bx+a \right ) ^{n} \left ( d{x}^{2}+c \right ) ^{3}}{x}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((b*x+a)^n*(d*x^2+c)^3/x,x)

[Out]

int((b*x+a)^n*(d*x^2+c)^3/x,x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{{\left (d x^{2} + c\right )}^{3}{\left (b x + a\right )}^{n}}{x}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((b*x+a)^n*(d*x^2+c)^3/x,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((d*x^2 + c)^3*(b*x + a)^n/x, x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left (\frac{{\left (d^{3} x^{6} + 3 \, c d^{2} x^{4} + 3 \, c^{2} d x^{2} + c^{3}\right )}{\left (b x + a\right )}^{n}}{x}, x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((b*x+a)^n*(d*x^2+c)^3/x,x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((d^3*x^6 + 3*c*d^2*x^4 + 3*c^2*d*x^2 + c^3)*(b*x + a)^n/x, x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [B]  time = 20.6092, size = 5690, normalized size = 23.13 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((b*x+a)**n*(d*x**2+c)**3/x,x)

[Out]

-b**n*c**3*n*(a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/gamma(n + 2) - b**n*c**3*(a/b + x)**n*ler
chphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/gamma(n + 2) + 3*c**2*d*Piecewise((a**n*x**2/2, Eq(b, 0)), (a*log(a/b
+ x)/(a*b**2 + b**3*x) + b*x*log(a/b + x)/(a*b**2 + b**3*x) - b*x/(a*b**2 + b**3*x), Eq(n, -2)), (-a*log(a/b +
x)/b**2 + x/b, Eq(n, -1)), (-a**2*(a + b*x)**n/(b**2*n**2 + 3*b**2*n + 2*b**2) + a*b*n*x*(a + b*x)**n/(b**2*n
**2 + 3*b**2*n + 2*b**2) + b**2*n*x**2*(a + b*x)**n/(b**2*n**2 + 3*b**2*n + 2*b**2) + b**2*x**2*(a + b*x)**n/(
b**2*n**2 + 3*b**2*n + 2*b**2), True)) + 3*c*d**2*Piecewise((a**n*x**4/4, Eq(b, 0)), (6*a**3*log(a/b + x)/(6*a
**3*b**4 + 18*a**2*b**5*x + 18*a*b**6*x**2 + 6*b**7*x**3) + 5*a**3/(6*a**3*b**4 + 18*a**2*b**5*x + 18*a*b**6*x
**2 + 6*b**7*x**3) + 18*a**2*b*x*log(a/b + x)/(6*a**3*b**4 + 18*a**2*b**5*x + 18*a*b**6*x**2 + 6*b**7*x**3) +
9*a**2*b*x/(6*a**3*b**4 + 18*a**2*b**5*x + 18*a*b**6*x**2 + 6*b**7*x**3) + 18*a*b**2*x**2*log(a/b + x)/(6*a**3
*b**4 + 18*a**2*b**5*x + 18*a*b**6*x**2 + 6*b**7*x**3) + 6*b**3*x**3*log(a/b + x)/(6*a**3*b**4 + 18*a**2*b**5*
x + 18*a*b**6*x**2 + 6*b**7*x**3) - 6*b**3*x**3/(6*a**3*b**4 + 18*a**2*b**5*x + 18*a*b**6*x**2 + 6*b**7*x**3),
Eq(n, -4)), (-6*a**3*log(a/b + x)/(2*a**2*b**4 + 4*a*b**5*x + 2*b**6*x**2) - 9*a**3/(2*a**2*b**4 + 4*a*b**5*x
+ 2*b**6*x**2) - 12*a**2*b*x*log(a/b + x)/(2*a**2*b**4 + 4*a*b**5*x + 2*b**6*x**2) - 12*a**2*b*x/(2*a**2*b**4
+ 4*a*b**5*x + 2*b**6*x**2) - 6*a*b**2*x**2*log(a/b + x)/(2*a**2*b**4 + 4*a*b**5*x + 2*b**6*x**2) + 2*b**3*x*
*3/(2*a**2*b**4 + 4*a*b**5*x + 2*b**6*x**2), Eq(n, -3)), (6*a**3*log(a/b + x)/(2*a*b**4 + 2*b**5*x) + 6*a**3/(
2*a*b**4 + 2*b**5*x) + 6*a**2*b*x*log(a/b + x)/(2*a*b**4 + 2*b**5*x) - 3*a*b**2*x**2/(2*a*b**4 + 2*b**5*x) + b
**3*x**3/(2*a*b**4 + 2*b**5*x), Eq(n, -2)), (-a**3*log(a/b + x)/b**4 + a**2*x/b**3 - a*x**2/(2*b**2) + x**3/(3
*b), Eq(n, -1)), (-6*a**4*(a + b*x)**n/(b**4*n**4 + 10*b**4*n**3 + 35*b**4*n**2 + 50*b**4*n + 24*b**4) + 6*a**
3*b*n*x*(a + b*x)**n/(b**4*n**4 + 10*b**4*n**3 + 35*b**4*n**2 + 50*b**4*n + 24*b**4) - 3*a**2*b**2*n**2*x**2*(
a + b*x)**n/(b**4*n**4 + 10*b**4*n**3 + 35*b**4*n**2 + 50*b**4*n + 24*b**4) - 3*a**2*b**2*n*x**2*(a + b*x)**n/
(b**4*n**4 + 10*b**4*n**3 + 35*b**4*n**2 + 50*b**4*n + 24*b**4) + a*b**3*n**3*x**3*(a + b*x)**n/(b**4*n**4 + 1
0*b**4*n**3 + 35*b**4*n**2 + 50*b**4*n + 24*b**4) + 3*a*b**3*n**2*x**3*(a + b*x)**n/(b**4*n**4 + 10*b**4*n**3
+ 35*b**4*n**2 + 50*b**4*n + 24*b**4) + 2*a*b**3*n*x**3*(a + b*x)**n/(b**4*n**4 + 10*b**4*n**3 + 35*b**4*n**2
+ 50*b**4*n + 24*b**4) + b**4*n**3*x**4*(a + b*x)**n/(b**4*n**4 + 10*b**4*n**3 + 35*b**4*n**2 + 50*b**4*n + 24
*b**4) + 6*b**4*n**2*x**4*(a + b*x)**n/(b**4*n**4 + 10*b**4*n**3 + 35*b**4*n**2 + 50*b**4*n + 24*b**4) + 11*b*
*4*n*x**4*(a + b*x)**n/(b**4*n**4 + 10*b**4*n**3 + 35*b**4*n**2 + 50*b**4*n + 24*b**4) + 6*b**4*x**4*(a + b*x)
**n/(b**4*n**4 + 10*b**4*n**3 + 35*b**4*n**2 + 50*b**4*n + 24*b**4), True)) + d**3*Piecewise((a**n*x**6/6, Eq(
b, 0)), (60*a**5*log(a/b + x)/(60*a**5*b**6 + 300*a**4*b**7*x + 600*a**3*b**8*x**2 + 600*a**2*b**9*x**3 + 300*
a*b**10*x**4 + 60*b**11*x**5) + 137*a**5/(60*a**5*b**6 + 300*a**4*b**7*x + 600*a**3*b**8*x**2 + 600*a**2*b**9*
x**3 + 300*a*b**10*x**4 + 60*b**11*x**5) + 300*a**4*b*x*log(a/b + x)/(60*a**5*b**6 + 300*a**4*b**7*x + 600*a**
3*b**8*x**2 + 600*a**2*b**9*x**3 + 300*a*b**10*x**4 + 60*b**11*x**5) + 625*a**4*b*x/(60*a**5*b**6 + 300*a**4*b
**7*x + 600*a**3*b**8*x**2 + 600*a**2*b**9*x**3 + 300*a*b**10*x**4 + 60*b**11*x**5) + 600*a**3*b**2*x**2*log(a
/b + x)/(60*a**5*b**6 + 300*a**4*b**7*x + 600*a**3*b**8*x**2 + 600*a**2*b**9*x**3 + 300*a*b**10*x**4 + 60*b**1
1*x**5) + 1100*a**3*b**2*x**2/(60*a**5*b**6 + 300*a**4*b**7*x + 600*a**3*b**8*x**2 + 600*a**2*b**9*x**3 + 300*
a*b**10*x**4 + 60*b**11*x**5) + 600*a**2*b**3*x**3*log(a/b + x)/(60*a**5*b**6 + 300*a**4*b**7*x + 600*a**3*b**
8*x**2 + 600*a**2*b**9*x**3 + 300*a*b**10*x**4 + 60*b**11*x**5) + 900*a**2*b**3*x**3/(60*a**5*b**6 + 300*a**4*
b**7*x + 600*a**3*b**8*x**2 + 600*a**2*b**9*x**3 + 300*a*b**10*x**4 + 60*b**11*x**5) + 300*a*b**4*x**4*log(a/b
+ x)/(60*a**5*b**6 + 300*a**4*b**7*x + 600*a**3*b**8*x**2 + 600*a**2*b**9*x**3 + 300*a*b**10*x**4 + 60*b**11*
x**5) + 300*a*b**4*x**4/(60*a**5*b**6 + 300*a**4*b**7*x + 600*a**3*b**8*x**2 + 600*a**2*b**9*x**3 + 300*a*b**1
0*x**4 + 60*b**11*x**5) + 60*b**5*x**5*log(a/b + x)/(60*a**5*b**6 + 300*a**4*b**7*x + 600*a**3*b**8*x**2 + 600
*a**2*b**9*x**3 + 300*a*b**10*x**4 + 60*b**11*x**5), Eq(n, -6)), (-60*a**5*log(a/b + x)/(12*a**4*b**6 + 48*a**
3*b**7*x + 72*a**2*b**8*x**2 + 48*a*b**9*x**3 + 12*b**10*x**4) - 35*a**5/(12*a**4*b**6 + 48*a**3*b**7*x + 72*a
**2*b**8*x**2 + 48*a*b**9*x**3 + 12*b**10*x**4) - 240*a**4*b*x*log(a/b + x)/(12*a**4*b**6 + 48*a**3*b**7*x + 7
2*a**2*b**8*x**2 + 48*a*b**9*x**3 + 12*b**10*x**4) - 80*a**4*b*x/(12*a**4*b**6 + 48*a**3*b**7*x + 72*a**2*b**8
*x**2 + 48*a*b**9*x**3 + 12*b**10*x**4) - 360*a**3*b**2*x**2*log(a/b + x)/(12*a**4*b**6 + 48*a**3*b**7*x + 72*
a**2*b**8*x**2 + 48*a*b**9*x**3 + 12*b**10*x**4) - 240*a**2*b**3*x**3*log(a/b + x)/(12*a**4*b**6 + 48*a**3*b**
7*x + 72*a**2*b**8*x**2 + 48*a*b**9*x**3 + 12*b**10*x**4) + 120*a**2*b**3*x**3/(12*a**4*b**6 + 48*a**3*b**7*x
+ 72*a**2*b**8*x**2 + 48*a*b**9*x**3 + 12*b**10*x**4) - 60*a*b**4*x**4*log(a/b + x)/(12*a**4*b**6 + 48*a**3*b*
*7*x + 72*a**2*b**8*x**2 + 48*a*b**9*x**3 + 12*b**10*x**4) + 90*a*b**4*x**4/(12*a**4*b**6 + 48*a**3*b**7*x + 7
2*a**2*b**8*x**2 + 48*a*b**9*x**3 + 12*b**10*x**4) + 12*b**5*x**5/(12*a**4*b**6 + 48*a**3*b**7*x + 72*a**2*b**
8*x**2 + 48*a*b**9*x**3 + 12*b**10*x**4), Eq(n, -5)), (60*a**5*log(a/b + x)/(6*a**3*b**6 + 18*a**2*b**7*x + 18
*a*b**8*x**2 + 6*b**9*x**3) + 50*a**5/(6*a**3*b**6 + 18*a**2*b**7*x + 18*a*b**8*x**2 + 6*b**9*x**3) + 180*a**4
*b*x*log(a/b + x)/(6*a**3*b**6 + 18*a**2*b**7*x + 18*a*b**8*x**2 + 6*b**9*x**3) + 90*a**4*b*x/(6*a**3*b**6 + 1
8*a**2*b**7*x + 18*a*b**8*x**2 + 6*b**9*x**3) + 180*a**3*b**2*x**2*log(a/b + x)/(6*a**3*b**6 + 18*a**2*b**7*x
+ 18*a*b**8*x**2 + 6*b**9*x**3) + 60*a**2*b**3*x**3*log(a/b + x)/(6*a**3*b**6 + 18*a**2*b**7*x + 18*a*b**8*x**
2 + 6*b**9*x**3) - 60*a**2*b**3*x**3/(6*a**3*b**6 + 18*a**2*b**7*x + 18*a*b**8*x**2 + 6*b**9*x**3) - 15*a*b**4
*x**4/(6*a**3*b**6 + 18*a**2*b**7*x + 18*a*b**8*x**2 + 6*b**9*x**3) + 3*b**5*x**5/(6*a**3*b**6 + 18*a**2*b**7*
x + 18*a*b**8*x**2 + 6*b**9*x**3), Eq(n, -4)), (-60*a**5*log(a/b + x)/(6*a**2*b**6 + 12*a*b**7*x + 6*b**8*x**2
) - 90*a**5/(6*a**2*b**6 + 12*a*b**7*x + 6*b**8*x**2) - 120*a**4*b*x*log(a/b + x)/(6*a**2*b**6 + 12*a*b**7*x +
6*b**8*x**2) - 120*a**4*b*x/(6*a**2*b**6 + 12*a*b**7*x + 6*b**8*x**2) - 60*a**3*b**2*x**2*log(a/b + x)/(6*a**
2*b**6 + 12*a*b**7*x + 6*b**8*x**2) + 20*a**2*b**3*x**3/(6*a**2*b**6 + 12*a*b**7*x + 6*b**8*x**2) - 5*a*b**4*x
**4/(6*a**2*b**6 + 12*a*b**7*x + 6*b**8*x**2) + 2*b**5*x**5/(6*a**2*b**6 + 12*a*b**7*x + 6*b**8*x**2), Eq(n, -
3)), (60*a**5*log(a/b + x)/(12*a*b**6 + 12*b**7*x) + 60*a**5/(12*a*b**6 + 12*b**7*x) + 60*a**4*b*x*log(a/b + x
)/(12*a*b**6 + 12*b**7*x) - 30*a**3*b**2*x**2/(12*a*b**6 + 12*b**7*x) + 10*a**2*b**3*x**3/(12*a*b**6 + 12*b**7
*x) - 5*a*b**4*x**4/(12*a*b**6 + 12*b**7*x) + 3*b**5*x**5/(12*a*b**6 + 12*b**7*x), Eq(n, -2)), (-a**5*log(a/b
+ x)/b**6 + a**4*x/b**5 - a**3*x**2/(2*b**4) + a**2*x**3/(3*b**3) - a*x**4/(4*b**2) + x**5/(5*b), Eq(n, -1)),
(-120*a**6*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6
*n + 720*b**6) + 120*a**5*b*n*x*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*
b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) - 60*a**4*b**2*n**2*x**2*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6
*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) - 60*a**4*b**2*n*x**2*(a + b*x)**n/(b**6*n**6
+ 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 20*a**3*b**3*n**3
*x**3*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n +
720*b**6) + 60*a**3*b**3*n**2*x**3*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 16
24*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 40*a**3*b**3*n*x**3*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6
*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) - 5*a**2*b**4*n**4*x**4*(a + b*x)**n/(b**6*n*
*6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) - 30*a**2*b**4*n*
*3*x**4*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n
+ 720*b**6) - 55*a**2*b**4*n**2*x**4*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 +
1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) - 30*a**2*b**4*n*x**4*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b*
*6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + a*b**5*n**5*x**5*(a + b*x)**n/(b**6*n**6
+ 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 10*a*b**5*n**4*x**
5*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*
b**6) + 35*a*b**5*n**3*x**5*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6
*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 50*a*b**5*n**2*x**5*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 +
735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 24*a*b**5*n*x**5*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6
*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + b**6*n**5*x**6*(a + b*x)**n
/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 15*b**
6*n**4*x**6*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**
6*n + 720*b**6) + 85*b**6*n**3*x**6*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1
624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 225*b**6*n**2*x**6*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6
*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 274*b**6*n*x**6*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 2
1*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 120*b**6*x**6*(a + b*
x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6), Tr
ue)) - b*b**n*c**3*n*x*(a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(a*gamma(n + 2)) - b*b**n*c**3*
x*(a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(a*gamma(n + 2))

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{{\left (d x^{2} + c\right )}^{3}{\left (b x + a\right )}^{n}}{x}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((b*x+a)^n*(d*x^2+c)^3/x,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*x^2 + c)^3*(b*x + a)^n/x, x)